推定相続人の排除について、遺言書に特定の推定相続人を排除する旨の記載があった場合、その排除の対象となった推定相続人が、家庭裁判所に排除の請求をすることになりますか？

被相続人が、遺言で推定相続人を廃除する意思を表示した場合には、必ず遺言執行者が選任される必要があります。
そして、その遺言執行者が、被相続人の相続開始後、遅滞なく家庭裁判所に排除の請求をしなければなりません。

この排除の調停の成立または審判の確定によって、当該相続人の廃除は、被相続人の死亡の時にさかのぼってその効力を生じるとされています（民法第893条）。